计算机进制

在计算机中存储和信息处理使用的都是二进制表示。

什么是二进制呢?就是逢2进1，每个数只能小于2，即都是由0、1组成。与我们人常用的十进制，逢10进1是一样的方式。

那为什么在计算机中使用二进制来表示呢？

有如下几个原因：

计算机的底层电子元件（如晶体管）本质上只能区分两种状态导通（1）和截止（0），对应电压的高与低且在物理上更易实现且稳定，因为区分两种状态比区分多个状态（如十进制的10种）更抗干扰，减少了因噪声或微小电压波动导致的错误。
二进制直接对应布尔代数中的真（True/1）与假（False/0），而计算机的核心逻辑门电路（如与门、或门、非门）正是基于布尔代数设计的。这使得二进制能无缝衔接硬件逻辑与数学运算，简化了电路设计。
运算与存储的高效性

计算简化：二进制运算规则简单（如加法仅需处理进位），可通过位移和逻辑门快速完成。例如，乘法通过位移和加法即可实现，而十进制需要更复杂的步骤。
存储密度：每个存储单元（如内存、硬盘）只需保持两种状态，降低了物理实现的复杂度与成本，同时提高了可靠性。

十六进制

在计算机中最小的存储单位是bit(比特)，1字节 = 8bit，即：1字节需要用8位二进制来表示。

1字节二进制的表示范围为：00000000 ~ 11111111 1字节十进制的表示范围为：0 ~ 255

这2种描述字节范围不太方便，二进制表示太冗长，十机制与bit的转换机制非常麻烦，在计算机中使用十六机制来表示，十六进制简写为（hex），即由（0~15数字组成，满16进1）。

用a表示10、b表示11、c表示12、d表示13、e表示14、f表示15。

一个十六进制数用4个二进制数构成，所以非常方便用二进制表示。

下面为二进制、十进制、十六进制表格对应关系如下：

二进制	十进制	十六进制
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	a
1011	11	b
1100	12	c
1101	13	d
1110	14	e
1111	15	f

二进制与十六进制的转换

将十六进制的数，例：0x173A4C十六进制数转换为二进制，可以将十六进制的每位数转换为对应的二进制数，一个十六进制数用4个二进制数表示，查看对照上面的表，即很容易得到答案。

十六进制数	二进制数
1	0001
7	0111
3	0011
A	1010
4	0100
C	1100

即对应的二进制为：000101110011101001001100

反过来，也可以很容易将二机制转换为十六进制，但是需要注意 将二进制转换为十六进制时，需要从最低位开始每4位算一个二进制数，如果最高位少于4，前面则用0来补足

例如：将二进制转化为十六进制1111001010110110110011。

二进制数	十六进制数
0011	3
1011	b
1101	d
1010	a
1100	c
0011	3

将2的n次幂快速转换为十六进制，核心原理是：

二进制特性：2的n次幂在二进制中表示为1后跟n个0。
十六进制分组：每4位二进制对应1位十六进制（如 0000 → 0x0, 1111 → 0xF）。

转换步骤：

将n分解为商和余数

将n表示为 n=4q+r，其中q 是商（整数），r是余数（0 ≤ r ≤ 3）。
确定前导数字

根据余数r，前导十六进制数字为 1<<r（即 $\ce{2^r}$)
- r=0 → 0x1
- r=1 → 0x2
- r=2 → 0x4
- r=3 → 0x8
添加后缀零

在末尾添加q个十六进制的0（每个0对应4位二进制）。

例如：

n=5

5=4×1+1 → 前导0x2，加1个0 → 0x20。
n=10

10=4×2+2 → 前导0x4，加2个0 → 0x400。
n=16

16=4×4+0 → 前导0x1，加4个0 → 0x10000。

低进制转换为高进制

例如：二进制转换为十进制，十进制转换为十六进制

二进制转换为十进制

基础转换方式

二进制每位的权值为 $\ce{2^n}$（从右到左，最低位为$\ce{2^0}$），转换的本质是按权展开求和。

十进制值=$\ce{b_0}$ * $\ce{2^0}$ + $\ce{b_1}$ * $\ce{2^1}$ + … + $\ce{b_n}$ * $\ce{2^n}$

逐步累加法（从左到右）

从二进制最高位开始，初始结果为 0。
每读一位，将当前结果乘以 2，然后加上该位的值（0 或 1）。
重复直到最低位。

例如：（二进制 101101 → 十进制）

初始值: 0
第1位(1): 0×2 +1 = 1
第2位(0): 1×2 +0 = 2
第3位(1): 2×2 +1 = 5
第4位(1): 5×2 +1 = 11
第5位(0): 11×2 +0 = 22
第6位(1): 22×2 +1 = 45
→ 结果为 45

十进制转换为二进制

除2取余法，一个十进制数一直除2直到不能除为止。

反复除以2

用十进制数不断除以2，记录每次的余数（0或1）。

倒序排列余数

最后一次运算的余数为二进制最高位，第一次运算的余数为最低位。

例如：十进制 18 → 二进制

18 ÷ 2 = 9 余 0
9  ÷ 2 = 4 余 1
4  ÷ 2 = 2 余 0
2  ÷ 2 = 1 余 0
1  ÷ 2 = 0 余 1
余数倒序排列 → 10010 → 二进制为 10010

十进制转换为十六进制

除16取余法，一个十进制数一直除16直到不能除为止。

反复除以16

用十进制数不断除以16，记录每次的余数。
余数处理

余数 <10 → 直接记录数字（0-9）。

余数 ≥10 → 转换为字母（A=10, B=11, …, F=15）。
倒序排列余数

最后一次运算的余数为最高位，第一次运算的余数为最低位。

例如：十进制36 → 十六进制

315 ÷ 16 = 19 余 11 → B
19  ÷ 16 = 1  余 3  → 3
1   ÷ 16 = 0  余 1  → 1
余数倒序排列 → 1 3 B → 0x13B

也可以先将十进制转换为二进制，通过二进制能快速转换为十六进制。

十六进制转换为二进制

使用权值展开法，即每位十六进制数乘以16然后求和。

确定每位权值

十六进制数从右到左，每位权值为$\ce{16^n}$（最低位n=0，依次递增）
转换字母为数值

将字母 A-F 转为对应的十进制值（A=10, B=11, …, F=15）。
逐位计算并求和

每位数值 x$\ce{16^n}$将所有结果相加。

例如：十六进制 0x1A3 → 十进制

分解：
1 → 1 × 16² = 256
A → 10 × 16¹ = 160
3 → 3 × 16⁰ = 3
总和：256 + 160 + 3 = 419 → 十进制为 419